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!set gl_author=Euler, Acadmie de Versailles
!set gl_keywords=complex_number
!set gl_title=Forme trigonomtrique d'un nombre complexe non nul
!set gl_level=H5 STI2D&nbsp;Spcialit, H6 Gnrale&nbsp;Experte
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<div class="wims_defn">
<h4>Dfinition</h4>
Soit \(r\) un nombre rel strictement positif et \(\displaystyle{\theta}\) un
 nombre rel.
<br>
Soit \(z\) le nombre complexe de module \(r\) et d'argument
<span class="nowrap">\(\displaystyle{\theta}\).</span>
<br>
Une <strong>forme trigonomtrique</strong> de \(z\) est
 <span class="nowrap">\(r(\cos\theta+\mathrm{i}\, \sin\theta)\).</span>
</div>
:
:
<div class="wims_thm">
<h4>Thorme</h4>
Un complexe non nul \(z\) possde une infinit de formes trigonomtriques.
<br>
Si \(r(\cos\theta+\mathrm{i}\,\sin\theta)\) et
\(r^{'}(\cos\theta^{'}+\mathrm{i}\,\sin\theta^{'})\) sont deux formes trigonomtriques de
 \(z\) alors \(r=r^{'}\) et il existe un entier relatif \(k\) tel que
 <span class="nowrap"> \(\theta^{'}=\theta +2k\pi\).</span>
</div>
:
:
 <div class="wims_thm">
 <h4>Thorme</h4>
 Soit \(z\), \(z_1\) et \(z_2\) trois nombres complexes non nuls de formes
  trigonomtriques respectives
   <span class="nowrap">\(r(\cos\theta+\mathrm{i}\,\sin\theta)\),</span>
  \(r_1(\cos\theta_1 + \mathrm{i}\,\sin\theta_1)\) et <span class="nowrap">
  \(r_2(\cos\theta_2+\mathrm{i}\,\sin\theta_2)\).</span> Alors&nbsp;:
<ul>
  <li>
  \(\frac{1}{z}=\frac{1}{r}(\cos(-\theta)+\mathrm{i}\,\sin(-\theta))\)
  </li>
  <li>
  \(z_1 z_2 = r_1 r_2(\cos(\theta_1+\theta_2)+\mathrm{i}\,\sin(\theta_1+\theta_2))\)
  </li>
  <li>
  \(\frac{z_1}{z_2}=\frac{r_1}{r_2}(\cos(\theta_1-\theta_2)+\mathrm{i}\,\sin(\theta_1-\theta_2))\)
  </li>
  <li>
  pour tout entier relatif \(n\), \(z^n=r^n(\cos(n\theta)+\mathrm{i}\,\sin(n\theta))\)
  </li>
  <li>
  \(\bar z = r(\cos(-\theta)+\mathrm{i}\,\sin(-\theta))\)
  </li>
  <li>
  \(-z=r(\cos(\theta+\pi)+\mathrm{i}\,\sin(\theta+\pi))\)
  </li>
</ul>
</div>
